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叶 航

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关于跨学科研究的断想  

2007-08-15 00:20:10|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 关于跨学科研究的断想

——哥德尔定理、朗兰兹纲领与罗赛塔石碑的故事

    前些日子我在博客上连续贴出我们在《经济学三人谈》中的一些对话,其中大部分是有关跨学科研究的讨论。关于跨学科研究,有许多不同的看法和争论。其中最关键的意见,是从根本上否认跨学科研究的必要性和可能性(关于这点,可以参考我的冤家冯钢在其博客上的众多言论)。今天,受到“物含妙理总堪寻”(南大数学系教授)一篇博文的启发,想通过几个学术故事来进一步阐发跨学科研究的学理性质。其中,“哥德尔定理”试图说明跨学科研究的必要性,而“朗兰兹纲领”和“罗赛塔石碑”则说明了跨学科研究何以可能。

    我希望引用一句被我略加修改的“物含妙理总堪寻”的话来描述我心目中的跨学科研究事业:“我坚信科学在本质上是统一的,学科分割使我们不得不居住在一个个孤岛上;而实际上,这些孤岛只不过是海底那片连绵起伏的大山脉露出水面的部分而已。没有这样的信念,很难期望科学能够为我们提供真正深刻的思想。”

哥德尔定理

    克尔特·哥德尔(Kurt Godel)1906年出生于奥地利,1930年在维也纳大学获博士学位。1931年,年轻的哥德尔对希尔伯特试图构建一个完全统一的形式主义的数学理论体系的宏大目标产生了怀疑。他认为,数学的任务不能只是逻辑推理,还必须对外界进行观察,不断用新的发现来丰富数学,而这些新的发现,是不能使用原来的数学知识去证明的。这样他就想到了要去证明他的上述想法。但要证明这个想法却是极其困难的,因为它需要洞察全部数学推论能力的界限。

    经过不懈的努力,哥德尔终于证明了这样一条“公理”:“任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的”,或者“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”。虽然,后面的这个表述只是前面那句话的推论,但人们通常把前一个结论称为“哥德尔第一不完备性定理”,而把后一个结论称为“哥德尔第二不完备性定理”。统称“哥德尔定理”或“哥德尔不完备定理”。

    哥德尔定理不但宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的,而且给数学证明不可能问题开创了一条新的道路。自罗素1902年提出著名的“集合悖论”(亦称“罗素悖论”)后,从理论上动摇了千百年来由数不清的数学家们辛勤建立起来的数学大厦的根基,并导致了第三次数学危机。而哥德尔定理恰恰完成和解决了这个问题,把众多数学家从迷惑和惶恐中解救出来,从而推动了数学王国的发展。所以,科学家们一致认为,哥德尔定理是一个划时代的里程碑。

    第二次世界大战前夕,哥德尔去美国普林斯顿高级研究所工作,1951年获得爱因斯坦勋章。大数学家冯·诺伊曼在授勋仪式上说:“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的,不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑。”

    哥德尔定理给我们的启示是:任何一个貌似完备的理论体系都存在其自身的边界,都存在着在这一体系本身既不能证明也不能证伪的命题。作为一个经济学者,我更需要直截了当地指出,现代经济学不但有而且有许多这样一些无法在经济学逻辑体系内部加以证明的命题。因此,经济学需要超越学科边界来完善自身。这就是浙江大学跨学科社会科学研究中心(ICSS)的一项重要使命。

朗兰兹纲领

    普林斯顿的数学家罗伯特·朗兰兹1967年给安德雷·韦依写了一封信,在这封信中他提出了一个著名的猜想,正是这个猜想,后来被世人称作“朗兰兹纲领”。朗兰兹在这个猜想中预言,所有的数学领域之间存在着某种统一的链接,数学家在一个领域不能解决的问题,可以在其他领域解决,如果在另一个领域内仍然难以找到答案,那么可以把问题再转换到下一个领域中……,直到它被解决为止。

    1994年,安德鲁·维尔斯在研究椭圆曲线理论时, 证明“每一个椭圆方程都可以模形式化”, 并根据这一原理证明了困惑数学家300多年的费马大定理,从而给了朗兰兹纲领重大的支持。

    洛朗·拉佛阁在数论中把朗兰兹纲领研究从局部推向整体,运用分析法证明了与函数域情形相应的整体朗兰兹纲领,并因此获得了2002年的菲尔茨奖。拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领,对更抽象的所谓函数域而非通常的数域情形提供了一种全新的理解。我们可以将函数域设想为由多项式的商组成的集合,对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除。

    看起来,朗兰兹纲领与哥德尔定理似乎是两个完全不同的东西,但我认为它们事实上揭示了同一个公理的两个不同方面。哥德尔定理告诉我们,任何一个自恰的逻辑体系至少存在着一个它自身无法证明的命题;而朗兰兹纲领则告诉我们,在一个逻辑体系中无法证明的命题,总可以在另一个逻辑体系中加以证明。

    如果说,哥德尔定理揭示了跨学科研究的必要性;那么,朗兰兹纲领则给出了跨学科研究的可能性。当经济学面临自身无法解决的难题时,我们可以到心理学、行为科学、生物学、认知科学、甚至神经科学中寻找突破的资源。更一般地,当社会科学面临自身无法解决的难题时,我们为什么不能寻求自然科学的帮助?事实上,这也是从上个世纪90年代开始兴起,而且正方兴未艾的,国际学术前沿最激动人心的跨学科思想运动所蕴含的深刻学理基础。

罗赛塔石碑

    1799年,拿破仑率军远征埃及。他手下的一名军官布夏尔带领土兵在罗塞塔城附近修筑防御工事时,发现了一块黑褐色的断碑。碑上用三种字体刻着同一篇碑文,最上面是古埃及的象形文字,中间是古埃及的草书体象形文字(亦称民书体文字),下面是希腊文字。这就是后来被世人称之为“罗塞塔碑”的著名石碑。

    发现罗塞塔碑的消息在当时的《埃及通讯》上公布以后,立即引起各国学者的浓厚兴趣,他们纷纷试图译解碑上的文字。碑上的希腊文很快就被读通了,碑中间的那段文字也很快就被确认是古埃及的民书体文字。但是,尽管学者们能借助碑上的希腊文,领悟到象形言文字和民书文字的含义,却依然没有解开古埃及象形文字之谜。当时年仅11岁的法国少年商博良出于好奇,决心揭开罗塞塔碑上古埃及文字的秘密。为了读懂埃及象形文字,他努力奋斗了21年。1822年,这个一千多年来始终令人茫然不解的埃及象形文字之谜,终于被商博良解开了。

    小小的罗塞塔城,由于有了这块借以解开埃及象形文字之迹的碑石而举世闻名。今天,这块著名的碑石被收藏在伦敦大英博物馆里。它前面竖着一块牌子,上面写着:“这座石碑上有希腊文字、古埃及象形文字和古埃及通俗文字,如果你懂得其中任何一种语言,这个石碑就会让你懂得另外两种语言。”

     我们完全有理由相信,跨学科研究正是这样一块石碑,它正在引领着我们探索那个无限神奇的未知世界。“我坚信科学在本质上是统一的,学科分割使我们不得不居住在一个个孤岛上;而实际上,这些孤岛只不过是海底那片连绵起伏的大山脉露出水面的部分而已。没有这样的信念,很难期望科学能够为我们提供真正深刻的思想。”
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